Ermittle die Vorzeichenbereiche für den folgenden Funktionsterm:

$f\left(x\right)=x^3-3x^2+2f\backslash left(x\backslash right)=x^3-3x^2+2$

Um den Vorzeichenbereich ermitteln zu können, musst du zuerst die Nullstellen berechnen.

Versuche eine Nullstelle durch systematisches Probieren herauszufinden. Setze z.B. $11$ in $f(x)f(x)$ ein.

$f(1)=1^3-3\cdot 1^2+2=0f(1)=1^3-3\backslash cdot1^2+2=0$

Die Funktion $f(x)f(x)$ hat an der Stelle $x_1=1x\_1=1$ eine Nullstelle. Da $f(1)=0f(1)=0$, wissen wir, dass $f(x)f(x)$ den dazugehörigen Linearfaktor $(x-1)(x-1)$ besitzt.

Führe nun die Polynomdivision $f(x):(x-1)f(x):(x-1)$ durch.

$(x^3-3x^2+2):(x-1)=x^2-2x-2\underset{‾}{-(x^3-x^2)}-2x^2+2\underset{‾}{-(-2x^2+2x)}-2x+2\underset{‾}{-(-2x+2)}0\backslash \; \backslash \; \backslash \; (x^3-3x^2+2):(x-1)=x^2-2x-2\backslash \backslash \backslash underline\{-(x^3-x^2)\}\backslash \backslash \backslash \; \backslash qquad-2x^2+2\backslash \backslash \backslash quad\backslash underline\{-(-2x^2+2x)\}\backslash \backslash \backslash \backslash \backslash quad\backslash qquad\backslash qquad-2x+2\backslash \backslash \backslash qquad\backslash qquad\backslash underline\{-(-2x+2)\}\backslash \backslash \backslash \backslash \backslash qquad\backslash qquad\backslash qquad\backslash qquad0$

Die Funktion $f(x)f(x)$ wird dann $00$, sobald mindestens einer der Faktoren gleich $00$ ist. Da die Nullstelle $x_1=1x\_1=1$ bereits bekannt ist, kannst du die weiteren Nullstellen von $ff$ bestimmen, indem du das erhaltene Polynom gleich $00$ setzt.

$x^2-2x-2=0x^2-2x-2\backslash \; =\backslash \; 0$

Löse die quadratische Gleichung mit Hilfe der Mitternachtsformel.

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}x\_\{1\{,\}2\}=\backslash dfrac\{-b\backslash pm\backslash sqrt\{b^2-4ac\}\}\{2a\}$

Die Nullstellen sind also: $x_1=1;x_2=\mathrm{2,732};x_3=-\mathrm{0,732}x\_\{1\}=1\backslash \; ;\backslash quad\; x\_2\{\}=2\{,\}732\backslash \; ;\backslash quad\; x\_\{3\}=-0\{,\}732$

Es ergeben sich $44$ Vorzeichenbereiche:

$a\mathrm{.})\mathbf{\text{]}}-\mathrm{\infty };-\mathrm{0,732}\mathbf{\text{[}}b\mathrm{.})\mathbf{\text{]}}-\mathrm{0,732};1\mathbf{\text{[}}c\mathrm{.})\mathbf{\text{]}}1;\mathrm{2,732}\mathbf{\text{[}}d\mathrm{.})\mathbf{\text{]}}\mathrm{2,732};\mathrm{\infty }\mathbf{\text{[}}a.)\backslash textbf\{]\}-\backslash infty;\backslash \; -0\{,\}732\backslash textbf\{[\}\backslash quad\; b.)\backslash textbf\{]\}-0\{,\}732;\backslash \; 1\backslash textbf\{[\}\backslash quad\; c.)\backslash textbf\{]\}1;\backslash \; 2\{,\}732\backslash textbf\{[\}\backslash quad\; d.)\backslash textbf\{]\}2\{,\}732;\backslash \; \backslash infty\backslash textbf\{[\}$

Jetzt musst du dir, für jeden Bereich, das Vorzeichen von$f(x)\backslash \; \backslash \; f(x)$ überlegen.

Setze eine Zahl, die im jeweiligen Bereich liegt, in $f(x)f(x)$ ein.

a.) z. B. $(-1)\Rightarrow f(-1)=-1;Vorzeichen(-)(-1)\backslash qquad\backslash Rightarrow\backslash qquad\; f(-1)=\; -1;\backslash quad\; Vorzeichen\backslash \; (-)$

b.) z. B.$(0)\Rightarrow f(0)=2;Vorzeichen(+)\backslash \; \backslash \; (0)\backslash qquad\backslash Rightarrow\backslash qquad\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; f(0)=2;\backslash qquad\; \backslash \; Vorzeichen\backslash \; (+)$

c.) z. B.$(2)\Rightarrow f(2)=4;Vorzeichen(-)\backslash \; \backslash \; \backslash \; (2)\backslash qquad\backslash Rightarrow\backslash qquad\; \backslash \; \backslash \; f(2)=4;\backslash qquad\; \backslash \; Vorzeichen\backslash \; (-)$

d.) z. B. $(3)\Rightarrow f(3)=2;Vorzeichen(+)\backslash \; \backslash \; (3)\backslash qquad\backslash Rightarrow\backslash qquad\; \backslash \; f(3)=2;\backslash qquad\; \backslash \; \backslash \; Vorzeichen\backslash \; (+)$